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    11．求证：函数f（x）=-x2+2在（-∞，0）上是增函数．

    分析 设x1＜x2∈（-∞，0），然后通过作差判断f（x1）和f（x2）的大小关系，利用函数的单调性的定义证明即可．

    解答 证明：设任意的x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则
    f（x1）-f（x2）=（-x12+2）-（-x22+2）
    =（x2-x1）（x1+x2），
    ∵x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，
    ∴x2-x1＞0，x1+x2＜0，
    ∴f（x1）-f（x2）＜0，
    即f（x1）＜f（x2），
    ∴函数f（x）=-x2+2在（-∞，0）上是增函数．

    点评 本题主要考查函数单调性的判断，由增函数的定义证明即可，属于基础题．

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    1．设y=f（x）为R上的奇函数，且对于x∈R．都有f（x+2）=-f（x）．
    （1）证明：f（x）为周期函数；
    （2）证明：x=1为对称轴；
    （3）若当-1≤x≤1时，f（x）=sinx，写出-1≤x≤5时，f（x）的解析式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    2．下列四个结论正确的有②④．
    ①接近于3的数可以构成集合；
    ②集合A={y|y=x2+1}，集合B={x|y=x2+1}，则A⊆B；
    ③已知集合M={（x，y）|x+y=3}，N={（x，y）|x-y=5}，那么集合M∩N={4，-1}；
    ④y=$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{2}+1}$与y=x表示同一函数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+k}$，求函数f（x）的单调区间．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    6．判断下列函数的奇偶性，若为奇（偶）函数给出证明：
    （1）f（x）=$\frac{（x-1）\sqrt{1+x}}{1-x}$；
    （2）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$；
    （3）f（x）=3|x|，x∈R；
    （4）f（x）=$\frac{3x}{{x}^{2}-3}$．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    16．函数y=|x+2|在区间[-3，0]上是（　　）
    A．减函数B．增函数C．先减后增D．先增后减

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    3．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1}&{x＞0}\\{1}&{x=0}\\{-x+1}&{x＜0}\end{array}\right.$是偶函数（填“奇”或“偶”）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    20．假设老鼠每月生子一次．每次生12只，均雌雄各半，小鼠下月又生小鼠，现在有雌雄两只老鼠，在1月生小鼠12只，2月亲代和子代每对又生12只，此后每月，子又生孙，孙又生子，那么到12月份，你能算出总共有多少只老鼠吗？

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    7．O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点．
    （1）若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定过△ABC的重心．
    （2）若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定过△ABC的内心．
    （3）若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定过△ABC的重心．
    （4）若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定过△ABC的垂心．

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