Question

4．设函数f（x）在R上关于x=3和x=8都对称，且在闭区间[0，8]上只有f（1）=f（5）=f（7）=0．
（1）求证函数f（x）是周期函数；
（2）求函数f（x）在闭区间[-10，0]上的所有零点；
（3）求函数f（x）在闭区间[-2012，2012]上的零点个数及所有零点的和．

Answer 1

分析 （1）根据函数关于轴对称的结论列出等式，变形后利用周期函数的定义证明；
（2）利用周期性结合已知条件提供的零点，求出其他的零点；
（3）利用周期性可以判断在区间[-2010，2010]内零点个数，利用函数的周期性求出在闭区间[-2012，2012]上的零点个数，先求出函数f（x）在区间[-10，10]上的零点之和，再利用周期性求出所有零点的和．

解答 证明：（1）∵函数f（x）在R上关于x=3和x=8都对称，
∴f（6+x）=f（-x），f（16+x）=f（-x），
则f（x+6）=f（-x）=f（x+16），易得f（x+10）=f（x），
∴f（x）是周期函数，T=10；
解：（2）由函数f（x）在R上x=8对称得，f（8+x）=f（8-x），
∴f（9）=f（7）=0，f（1）=f（1-10）=f（-9）=0，
f（5）=f（5-10）=f（-5）=0，f（7）=f（7-10）=f（-3）=0，
f（9）=f（9-10）=f（-1）=0，
所以函数f（x）在区间[-10，0]上的零点分别有-1，-3，-5，-9；
（3）因为函数的周期是10，由（2）知一个周期内的零点个数为4个，
∴在区间[-2010，2010]内零点个数为2×201×4=1608个零点．
∵f（2011）=f（1）=f（-9）=0，f（2012）=f（2），f（-2011）=f（-1）=0，f（-2012）=f（-2），
∴2011，-2011也是两个零点，
∴在区间[-2012，2012]上共有1608+2=1610个零点；
由（1）知，函数f（x）在区间[-10，0]上的零点分别有-1，-3，-5，-9，
∴函数f（x）在区间[0，10]上的零点分别有1，5，7，9，
则函数f（x）在区间[-10，10]上的零点之和为4，
∴在区间[-2010，2010]内零点之和为201×4=804，
∵2011，-2011也是两个零点，
∴在闭区间[-2012，2012]上所有的零点之为和是804，
综上可得：零点个数是1610个；所有零点的和是804．

点评 本题主要考查了函数周期性和对称性的综合应用，以及函数零点的判断，综合性较强，考查分析、解决问题的能力．