Question

已知a，b，c为正实数，a+b+c=1．
求证：（1）a²+b²+c²≥

1

3

（2）

3a+2

+

3b+2

+

3c+2

＜6．

Answer 1

分析：（1）证法一，作差与0比较；证法二，利用（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，再用基本不等式可证；证法三，利用基本不等式；证法四，巧设变量，设a=

1

3

+α，b=

1

3

+β，c=

1

3

+γ，根据a+b+c=1，可得α+β+γ=0，所以a²+b²+c²=（

1

3

+α）²+（

1

3

+β）²+（

1

3

+γ）²=

1

3

+α²+β²+γ²，故可证；（2）利用基本不等式即可证明．

解答：（1）证法一：a²+b²+c²-

1

3

=

1

3

（3a²+3b²+3c²-1）
=

1

3

[3a²+3b²+3c²-（a+b+c）²]
=

1

3

[3a²+3b²+3c²-a²-b²-c²-2ab-2ac-2bc]
=

1

3

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]≥0∴a²+b²+c²≥

1

3

证法二：∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+a²+b²+a²+c²+b²+c²
∴3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1∴a²+b²+c²≥

1

3

证法三：∵

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c 3

∴a²+b²+c²≥

a+b+c

3

∴a²+b²+c²≥

1

3

证法四：设a=

1

3

+α，b=

1

3

+β，c=

1

3

+γ．
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a²+b²+c²=（

1

3

+α）²+（

1

3

+β）²+（

1

3

+γ）²
=

1

3

+

2

3

（α+β+γ）+α²+β²+γ²
=

1

3

+α²+β²+γ²≥

1

3

∴a²+b²+c²≥

1

3

（2）证法一：

∵ 3a+2 = (3a+2)×1 ＜ 3a+2+1 2 ，

同理

3b+2 ＜ 3b+3 2 ，

3c+2 ＜ 3c+3 2 ，

∴ 3a+2 + 3b+2 + 3c+2 ＜ 3(a+b+c)+9 2 =6

∴原不等式成立．
证法二：

3a+2 + 3b+2 + 3c+2

3

≤

(3a+2)+(3b+2)+(3c+2) 3

=

3(a+b+c)+6 3

=

3

∴

3a+2

+

3b+2

+

3c+2

≤3

3

＜6
∴原不等式成立．

点评：本题以等式为载体，考查不等式的证明，证题时用了多种方法，注意细细体会．