Question

12、已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，则不等式f（1-x）＜0的解集为（　　）

A、（1，+∞）

B、（0，+∞）

C、（-∞，0）

D、（-∞，1）

Answer 1

分析：先利用不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函数f（x）是定义在R上的增函数；再利用函数f（x+1）是定义在R上的奇函数得到函数f（x）过（1，0）点，二者相结合即可求出不等式f（1-x）＜0的解集．

解答：解：由不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数 ①．
又因为函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（x+1）过点（0，0）；
故函数f（x）过点（1，0）②．
①②相结合得：x＜1时，f（x）＜0．
故不等式f（1-x）＜0转化为1-x＞1?x＜0．
故选C．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．关键点有两处：①判断出函数f（x）的单调性；②利用奇函数的性质得到函数f（x）过（1，0）点．