Question

设数列{a_n}的首项a₁=1且前n项和为S_n．已知向量

a

=(1，an)，

b

=(an+1，

1

2

)满足

a

⊥

b

，则

lim

n→∞

Sn=

2

3

．

Answer 1

分析：利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列{a_n}是以首项a₁=1，公比为-

1

2

的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求．

解答：解：由题意，∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

= 0，∴an+1=-

1

2

an
即数列{a_n}是以首项a₁=1，公比为-

1

2

的等比数列，
∴

lim

n→∞

Sn=

1

1+ 1 2

=

2

3

故答案为

2

3

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和．