Question

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱锥D-ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别作出三角形的高，求出四个三角形的面积，然后求三棱锥D-ABC的表面积；
（2）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可．
（3）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可，求出CN．

解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=

2

a．
设G为CD的中点，则CG=

1

2

a，AG=

7

2

a．
∴S△ABC=S△ABD=

1

2

a2，S△BCD=

3

4

a2，S△ACD=

7

4

a2．
三棱锥D-ABC的表面积为S△ACD=

4+ 3 + 7

4

a2．
（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在这样的点N，
当CN=

3

8

CA时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE=O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO=

2

3

CM．
∴当CF=

2

3

CN时，MN∥OF．∴CN=

3

2

•

1

4

CA=

3

8

CA．

点评：本题考查棱锥的结构特征，证明线面垂直，线面平行，考查逻辑思维能力，是中档题．