【题目】已知二次函数(其中)满足下列三个条件:①图象过坐标原点;②对于任意都成立;③方程有两个相等的实数根.
(1)求函数的解析式;
(2)令(其中),求函数的单调区间(直接写出结果即可);
(3)研究方程在区间内的解的个数.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)由图象过原点得,由得对称轴,方程有两个相等实根,对应的,三个条件可得三个等式,从而求得得解析式;
(2)化简函数为分段函数,当时,结合函数的对称轴求出单调区间,时类似求出单调区间.
(3)结合(2)中函数的单调性可研究在上的零点个数.注意零点存在定理的应用.
(1)因为图象过坐标原点,所以,即,
又,所以其对称轴是,即,,
又方程为,即有两个相等实根,所以,,
所以.
(2),
①当时,的对称轴是,
若,即时,在上单调递增,
若,即时,在上单调递增,在上递减,
②当时,的对称轴是,
则函数在上递减,在上递增,
综上所述,当时,的减区间为,增区间为;时,减区间为,,增区间为,.
(3)①当时,由(2)知在上单调递增,
又,,故函数在上只有一个零点;
②时,则,,,,
(i)当时,,
且,此时在上只有一个零点,
(ii)当时,且,此时在上有两个不同零点.
综上所述,当时,在上只有一个零点,时,在上有两个不同零点.
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【题目】已知椭圆过点且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点的直线与椭圆C相交于A,B两点,且满足.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F,为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设
Ⅰ为减少对周边区域的影响,试确定E,F的位置,使与的面积之和最小;
Ⅱ为节省建设成本,求使的值最小时AE和BF的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求和的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
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【题目】已知向量,函数.
(1)将函数的图像向右平移m()个单位长度,所得图像对应的函数为奇函数,写出m的最小值(不要求写过程);
(2)若,,求的值;
(3)若函数()在区间上是单调递增函数,求正数的取值范围.
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【题目】为了调查一款电视机的使用时间,研究人员对该款电视机进行了相应的测试,将得到的数据统计如下图所示:
并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查,得到的数据如下表所示:
(1)根据图中的数据,试估计该款电视机的平均使用时间;
(2)根据表中数据,判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关;
(3)若按照电视机的使用时间进行分层抽样,从使用时间在[0,4)和[4,20]的电视机中抽取5台,再从这5台中随机抽取2台进行配件检测,求被抽取的2台电视机的使用时间都在[4,20]内的概率.
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【题目】已知是定义在R上的奇函数,且满足,=1,数列{}满足=﹣1, (),其中是数列{}的前n项和,则=
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
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【题目】已知二次函数满足条件是偶函数, ,且的图象与直线恰有一个公共点.
(1)求的解析式;
(2)设,是否存在实数,使得函数在区间上的最大值为2?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
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