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在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点的坐标分别为A(-
7
7
a,0),B(
7
7
a,0)(a>0)
,两动点M、N满足
MA
+
MB
+
MC
=
0
,|
NC
|=
7
|
NA
|=
7
|
NB
|
,向量
MN
AB
共线.
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程;
(2)若过点P(0,a)的直线与(1)的轨迹相交于E、F两点,求
PE
PF
的取值范围.
(3)若G(-a,0),H(2a,0),θ为C点的轨迹在第一象限内的任意一点,则是否存在常数λ(λ>0),使得∠QHG=λ∠QGH恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先设出点C的坐标,根据△ABC的重心的充要条件表示出点M的坐标,再根据点A和B坐标以及距离的关系求出点N的坐标,由两点之间的距离公式代入|
NC
|=
7
|
NA
|
,进行化简求出点C的轨迹方程;
(2)由题意设出点E、F和直线的方程,联立直线方程和轨迹方程,消去y得到关于x的二次方程,根据韦达定理列出两根和以及积的式子,由判别式的符号求出k2-3的范围,根据向量数量积的坐标运算列出
PE
PF
关于k的式子,根据求出的范围,即求出
PE
PF
的范围;
(3)设出Q的坐标并代入轨迹方程,由特殊情况QH⊥x轴求出λ的值,根据点G和H坐标求出两个角的正切值,由两个角的范围和正切值进行判断是否成立.
解答:(1)设C(x,y),由
MA
+
MB
+
MC
=0
知,
∴M是△ABC的重心,∴M(
x
3
y
3
)

|
NA
|=|
NB
|
且向量
MN
AB
共线,∴N在边AB的中垂线上,
A(-
7
7
a,0),B(
7
7
a,0)(a>0)
,∴N(0,
y
3
)

又∵|
NC
|=
7
|
NA
|
,∴x2+
4
9
y2=7(
a2
7
+
y2
9
)
,化简得x2-
y2
3
=a2

即所求的轨迹方程是x2-
y2
3
=a2

(2)设E(x1,y1)、F(x2,y2),过点P(0,a)的直线方程为y=kx+a,
代入x2-
y2
3
=a2
得(3-k2)x2-2akx-4a2=0,
x1+x2=
2ak
3-k2
x1x2=
-4a2
3-k2
,且△=4a2k2+16a2(3-k2)>0,解得k2<4.
∴k2-3<1,则
4
k2-3
>4
4
k2-3
<0

PE
PF
=(x1y1-a)•(x2y2-a)=x1x2+kx1•kx2=(1+k2)x1x2=
-4a2(1+k2)
3-k2

=4a2(1+
4
k2-3
)

PE
PF
的取值范围是(-∞,4a2)∪(20a2,+∞).
(3)设Q(x0,y0)(x0>0,y0>0),则
x
2
0
-
y
2
0
3
=a2
,即y02=3(x02-a02).
当QH⊥x轴时,x0=2a,y0=3a,∴∠QGH=
π
4
,即∠QHG=2QGH,故猜想λ=2.
当QH不垂直x轴时,tan∠QHG=-
y0
x0-2a
,tan∠
QGH=
y0
x0+a

∴tan2∠QGH=
2tan∠QGH
1-tan2∠QGH
=
2y0
x0+a
1-(
y0
x0+a
)
2
=-
y0
x0-2a
=tan∠QHG

又2∠QGH与∠QHG同在(0,
π
2
)∪(
π
2
,π)
内,
∴2∠QGH=∠QHG.
故存在λ=2,使2∠QGH=∠QHG恒成立.
点评:本题考查了轨迹方程的求法以及向量数量积的坐标,利用△ABC的重心的充要条件和距离公式求出轨迹方程,主要利用解析法中的设而不求思想,即根据题意列出方程组,根据韦达定理和判别式列出式子,把式子整体代入进行化简,此题综合性强,涉及的知识多,考查了分析问题和解决问题的能力.
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在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(-1,0)B(1,0),平面内两点G,M同时满足下列条件:①
GA
+
GB
+
GC
=
0
;②|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|;③
GM
AB

(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程;
(2)过点P(3,0)的直线l与(1)中轨迹交于不同的两点E,F,求△OEF面积的最大值.

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(1)求向量
A0A2
的坐标;
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B0B10
=
(20,20)
(20,20)

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(2013•宁波模拟)在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A(-1,0),B(1,0),平面内两点G、M同时满足下列条件:
(1)
GA
+
GB
+
GC
=
O

(2)|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|

(3)
GM
AB

则△ABC的顶点C的轨迹方程为(  )

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