Question

已知函数f（x）=log₂（1+2^x+4^xa），其中 a∈R．
（1）a=-2时，求函数f（x）定义域；
（2）当x∈（-∞，1]时，函数f（x）有意义，求实数a的取值范围；
（3）a=-1，函数y=f（x）-x-b（-1≤x≤0）有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义，以及复合函数，利用换元法，求出定义域，
（2）函数有意义，分离参数，构造函数，求出函数的最值即可，
（3）函数y=f（x）-x-b（-1≤x≤0）有零点，即f（x）与直线y=x+b在[-1，0]上有交点，求出f（x）的值域即可

解答： 解：（1）当a=-2时，f（x）=log₂（1+2^x-2×4^x）
∴1+2^x-2×4^x＞0，
令2^x=t，t＞0，
∴2t²-t-1＜0，
解得0＜t＜1，
∴2^x＜1=2⁰，
∴x＜0，
故函数的定义域为（-∞，0）；
（2）∵1+2^x+4^xa＞0，在x∈（-∞，1]恒成立，
∴a＞-

1

2x

-

1

(2x)2

在x∈（-∞，1]恒成立，
设2^-x=t，则t≥

1

2

，
∴a＞-t-t²，在t∈[

1

2

，∞）恒成立，
设g（t）=-t-t²=-（t+

1

2

）²+

1

4

，
∴函数g（t）在[

1

2

，∞）单调递减，
∴g（t）≤g（

1

2

）=-

3

4

，
∴a≥-

3

4

，
故a的取值范围为[-

3

4

，+∞），
（3）当a=-1时，f（x）=f（x）=log₂（1+2^x-4^x），
∵当a=-1时，函数y在[-1，0]上有零点，
∴f（x）与直线y=x+b在[-1，0]上有交点，
令h（t）=log₂（-t²+t+1），t∈[

1

2

，1]，
∴f（x）在[-1，0]上的值域为[1，

5

4

]，
∴直线y=x+b在[-1，0]上的值域[1，

5

4

]，
∴实数b的取值范围为[1，

5

4

]．

点评：本题考查了对数函数图象和性质，以及函数恒成立的问题，以及函数的零点问题，属于中档题