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已知函数f(x)=log2(1+2x+4xa),其中 a∈R.
(1)a=-2时,求函数f(x)定义域;
(2)当x∈(-∞,1]时,函数f(x)有意义,求实数a的取值范围;
(3)a=-1,函数y=f(x)-x-b(-1≤x≤0)有零点,求实数b的取值范围.
考点:对数函数的图像与性质,函数零点的判定定理
专题:函数的性质及应用
分析:(1)根据对数函数的定义,以及复合函数,利用换元法,求出定义域,
(2)函数有意义,分离参数,构造函数,求出函数的最值即可,
(3)函数y=f(x)-x-b(-1≤x≤0)有零点,即f(x)与直线y=x+b在[-1,0]上有交点,求出f(x)的值域即可
解答: 解:(1)当a=-2时,f(x)=log2(1+2x-2×4x
∴1+2x-2×4x>0,
令2x=t,t>0,
∴2t2-t-1<0,
解得0<t<1,
∴2x<1=20
∴x<0,
故函数的定义域为(-∞,0);
(2)∵1+2x+4xa>0,在x∈(-∞,1]恒成立,
∴a>-
1
2x
-
1
(2x)2
在x∈(-∞,1]恒成立,
设2-x=t,则t≥
1
2

∴a>-t-t2,在t∈[
1
2
,∞)恒成立,
设g(t)=-t-t2=-(t+
1
2
2+
1
4

∴函数g(t)在[
1
2
,∞)单调递减,
∴g(t)≤g(
1
2
)=-
3
4

∴a≥-
3
4

故a的取值范围为[-
3
4
,+∞),
(3)当a=-1时,f(x)=f(x)=log2(1+2x-4x),
∵当a=-1时,函数y在[-1,0]上有零点,
∴f(x)与直线y=x+b在[-1,0]上有交点,
令h(t)=log2(-t2+t+1),t∈[
1
2
,1],
∴f(x)在[-1,0]上的值域为[1,
5
4
],
∴直线y=x+b在[-1,0]上的值域[1,
5
4
],
∴实数b的取值范围为[1,
5
4
].
点评:本题考查了对数函数图象和性质,以及函数恒成立的问题,以及函数的零点问题,属于中档题
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