Question

【题目】过双曲线 （a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如图9，∵ ，∴M是F2P的中点． 设抛物线的焦点为F1 ， 则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．
连接PF1 ， OM．∵O、M分别是F1F2和PF2的中点，∴OM为
△PF2F1的中位线．∵OM=a，∴|PF1|=2 a．∵OM⊥PF2 ，
∴PF2⊥PF1 ， 于是可得|PF2|= ，设P（x，y），则 c﹣x=2a，
于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2 a），过点F2作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a．
由勾股定理得 y2+4a2=4b2 ， 即﹣4c（c﹣2a）+4 a2=4（c2﹣a2），
变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2
有 e2﹣e﹣1=0，所以e= ，负值已经舍去．
故选：D．