【题目】已知函数函数与直线相切,设函数其中a、c∈R,e是自然对数的底数.
(1)讨论h(x)的单调性;
(2)h(x)在区间内有两个极值点.
①求a的取值范围;
②设函数h(x)的极大值和极小值的差为M,求实数M的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)①②
【解析】
直接利用导数的几何意义即可求得c值,得,求导,分类讨论即可求解;
①函数在区间内有两个极值点,,则在区间内有两个不同的根即可;②的极大值和极小值的差为进行化简分析.
设直线与函数相切与点,
函数在点处的切线方程为:,,
把,代入上式得,.
所以,实数c的值为2.
所以,
则,
当时, ,
故函数在上单调递减,无增区间,
当时,,
,
所以函数在上单调递增,无减区间,
当时,令,
解得,
所以当或时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,函数在上单调递减;
当时,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
由知,
设函数在区间内有两个极值点,,
令,
则,设
因为,故只需
所以,.
因为,
所以
.
由,得,且.
.
设,,令,
,
在上单调递减,从而,
所以,实数M的取值范围是.
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【题目】袋子中有四个小球,分别写有“和、平、世、界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下24个随机数组:
232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100
231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的正方形的中心为为圆上的点,,,,分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为__________.
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【题目】已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+4)=-f(x)+f(2),且在区间[0,4]上是增函数,下列命题中正确的是( )
A.函数f(x)的一个周期为4
B.直线x=-4是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在[-6,-5)上单调递增,在[-5,-4)上单调递减
D.函数f(x)在[0,100]内有25个零点
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设x∈[1,2]时,函数,是否存在实数m使得g(x)的最小值为6,若存在,求m的取值;若不存在,说明理由.
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【题目】某工厂有工人1000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)
(1)A类工人中和B类工人各抽查多少工人?
(2)从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2:
表1:
生产能力分组 | |||||
人数 | 4 | 8 | x | 5 | 3 |
表2:
生产能力分组 | ||||
人数 | 6 | y | 36 | 18 |
①先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)
图1A类工人生产能力的频率分布直方图 图2B类工人生产能力的频率分布直方图
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【题目】各国医疗科研机构都在研制某种病毒疫苗,现有G,E,F三个独立的医疗科研机构,它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是.求:
(1)他们都研制出疫苗的概率;
(2)他们都失败的概率;
(3)他们能够研制出疫苗的概率.
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【题目】如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC,其中恒成立的为( )
A.①③B.③④C.①②D.②③④
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