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4.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,若P为椭圆C上的任意一点,过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q,M为线段QP的中点,则点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.

分析 利用焦点坐标qcc,离心率求出a,然后求解b,求出椭圆方程,然后设出M坐标,转化为P,代入求解即可.

解答 解:椭圆C的左右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
可得c=2,a=2$\sqrt{2}$,则b=2,
椭圆C的方程为:$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,
设M(x,y)则P(2x,y)代入:$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,
可得:$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.
则点M的轨迹方程为:$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.
故答案为:$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.

点评 本题考查轨迹方程的求法,转化思想的应用,考查计算能力.

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