Question

设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|AB|，则该双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出A，B的坐标，运用中点坐标公式可得AB中点M坐标，利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则PM⊥AB，
由两直线垂直的条件可得PM的斜率为-3，从而可求双曲线的离心率．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±

b

a

x，
则与直线x-3y+m=0联立，
可得A（

ma

3b-a

，

mb

3b-a

），B（-

ma

3b+a

，

mb

3b+a

），
∴AB中点M坐标为（

ma2

9b2-a2

，

3mb2

9b2-a2

），
∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，
则PM⊥AB，
∴

3mb2 9b2-a2 -0

ma2 9b2-a2 -m

=-3，
∴a=2b，
∴c=

a2+b2

=

5

b，
∴e=

c

a

=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．