Question

若数列的前项和为，对任意正整数都有，记．

（1）求,的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若求证：对任意．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）详见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）分别令可求得的值；（2）利用与的关系式，先求，再利用已知条件求得数列的通项公式；（3）先利用累加法求得,再利用裂项相消法求和，进而可证明不等式．

试题解析：(1)由，得，解得．       1分

，得，解得．       3分

（2）由            ①，            

当时，有   ②，　　               4分

①－②得：，　　　　　　　　　　　　　　　　    ５分

数列是首项，公比的等比数列　　　　    ６分

，　　　　　    ７分

．　　　　　　　　    ８分

（3），

，　    (1)

，      (2)

    ，

，

，           ()　　　　　    ９分

(1)+(2)+   +()得，    10分

 ，                                     11分　

，　　　　　　　　    12分

，　　　　　　　    13分

，　　　　　　　　　　　　　　　　　

对任意均成立．　　　    14分

考点：1、数列通项公式的求法；2、数列前项和的求法；3、数列不等式的证明．