Question

12．已知函数f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=x³，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=1时的函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；
（Ⅱ）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求出单调区间，极值，由题意可得零点和a的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和y=x³的图象可得，曲线f（x）=x-ae^x与曲线g（x）=x³最多有3个交点．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-e^x，f′（x）=1-e^x．
当x=0时，y=-1，又f′（0）=0，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-1；
（Ⅱ）由f（x）=x-ae^x，得f′（x）=1-ae^x．
当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；
当x=a时，f（a）=a-ae^a=a（1-e^a）≤0，当x=1时，f（1）=1-ae＞0，
所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；         
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=-lna．f（x）与f'（x）在区间（-∞，+∞）上的情况如下：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，
则有f（-lna）=0，即-lna-a e^-lna=0．解得$a=\frac{1}{e}$．
综上所述，当a≤0或$a=\frac{1}{e}$时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；
（Ⅲ）曲线f（x）=x-ae^x与曲线g（x）=x³最多有3个交点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数零点的问题的解法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．