Question

【题目】已知函数，．

(Ⅰ)当时，证明：；

(Ⅱ)的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条，证明见解析

【解析】

（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，设l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分别求得导数和单调性、最值，即可得证；

（Ⅱ）先确定曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，先化简方程得lnm﹣1．分别作出y＝lnx﹣1和y的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数，即可得到所求结论．

（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，

h′（x）1，当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增；

可得h（x）在x＝1处取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；

设l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，

l′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，l′（x）＞0，l（x）递增；

可得l（x）＞l（0）＝1＞0，

综上可得当x＞0时，g（x）＜x＜f（x）；

（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2，证明如下：

设公切线与g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切点分别为（m，lnm），（n，en），m≠n，

∵g′（x），f′（x）＝ex，

可得，化简得（m﹣1）lnm＝m+1，

当m＝1时，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；

当m≠1时，（m﹣1）lnm＝m+1化为lnm，

由lnx1，即lnx﹣1．

分别作出y＝lnx﹣1和y的函数图象，

由图象可知：y＝lnx﹣1和y的函数图象有两个交点，

可得方程lnm有两个实根，

则曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条．