Question

19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若AF=BE，求二面角的E-OC-F的余弦值大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由面面垂直的性质定理，证出CB⊥平面ABEF，从而AF⊥CB．由直径所对的圆周角是直角，得到AF⊥BF，结合线面垂直判定定理，可证出AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）利用图形对称性，可取EF中点为G，CD中点为H，以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OG}$，$\overrightarrow{OH}$为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz．求出O，E，F，C的坐标，进一步求出平面OEC与平面DFC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角的E-OC-F的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，
∵CB∩BF=B，
∴AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）解：利用图形对称性，可取EF中点为G，CD中点为H，
以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OG}$，$\overrightarrow{OH}$为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz．
∴O（0，0，0），$E（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;0）$，$F（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;0）$，C（-1，0，1）
设平面OEC的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OE}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得x=$\sqrt{3}$，y=1，求得平面OEC的法向量$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$，
设平面DFC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得x=$\sqrt{3}$，y=-1，求得平面OFC的法向量$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，-1，\sqrt{3}）$，
设二面角的E-OC-F的大小为θ，则$cosθ=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{3-1+3}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{5}{7}$，
∴二面角的E-OC-F的余弦值大小为$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．