Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=

3

16

(b2+c2-a2)．
（1）求角A的正弦值；
（2）若a=3，b＜c，S=6，D为△ABC内任意一点，且到三边距离之和为d．①求边b，c的长；②求d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积，结合余弦定理直接求出A的值．
（2）△ABC为直角三角形，建立如图所示的直角坐标系，则A（4，0），B（0，3），设△ABC内任意一点D的坐标为（x，y），设出AB的距离为z，根据面积、距离利用根据线性规划知识，d的取值范围为(

12

5

，4)．

解答：解：（1）由条件，△ABC的面积S=

3

16

(b2+c2-a2)，
而b²+c²-a²=2bccosA，
∴S=

3

8

bccosA…（3分）
又△ABC的面积S=

1

2

bcsinA，

3

4

cosA=sinA
由于sin²A+cos²A=1，所以sinA=

3

5

．          …（6分）
（2）①由a=3，S=6，b²+c²=41
又S=

1

2

bcsinA=

3

10

bc=6，
∴bc=20…（8分）∵b＜c，
∴b=4，c=5…（10分）
②由b=4，c=5，∵a=3，∴△ABC为直角三角形
建立如图所示的直角坐标系，则A（4，0），B（0，3）
设△ABC内任意一点D的坐标为（x，y），
它到AB的距离为z，
则S=

1

2

(3x+4y+5z)=6，
而d=x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)…（12分）
由图知，（x，y）满足

x＞0 y＞0 3x+4y＜12

…（14分）
根据线性规划知识，得

12

5

＜d＜4，
所以，d的取值范围为(

12

5

，4)．                 …（16分）

点评：本题是中档题，考查三角函数与余弦定理的应用，线性规划的知识，考查计算能力．