【题目】已知函数在处取得极值.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)f(x)在(-∞,-1)递减;在(-1,+∞)递增;(2).
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到关于的方程,求出,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)问题等价于在[-2,2]上恰有两个不同的实根.令g(x)=xex+x2+2x,求出函数的单调性求出g(x)的最小值,从而求出m的范围即可.
试题解析:
(1)f'(x)=ex+xex+2ax+2,
∵f(x)在x=1处取得极值, ∴f'(-1)=0,解得a=1.经检验a=1适合,
∴f(x)=xex+x2+2x+1,f'(x)=(x+1)(ex+2),
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)递减;
当x∈(-1+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)递增.
(2)函数y=f(x)-m-1在[-2,2]上恰有两个不同的零点,
等价于xex+x2+2x-m=0在[-2,2]上恰有两个不同的实根,
等价于xex+x2+2x=m在[-2,2]上恰有两个不同的实根.
令g(x)=xex+x2+2x,∴g'(x)=(x+1)(ex+2),
由(1)知g(x)在(-∞,-1)递减; 在(-1,+∞)递增.
g(x)在[-2,2]上的极小值也是最小值; . 又,g(2)=8+2e2>g(-2), ∴,即.
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【题目】已知长方形, , ,以的中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以为焦点,且过两点的椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线与椭圆交于不同的两点,设,点坐标为,若,求的取值范围.
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【题目】(A)在直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程为 (为参数), 是曲线上的动点, 为线段的中点,设点的轨迹为曲线.
(1)求的坐标方程;
(2)若射线与曲线异于极点的交点为,与曲线异于极点的交点为,求.
(B)设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)对任意, 不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响,现统计数据如下:质量监督员甲在生产现场时,990件产品中合格品有982件,次品有8件;甲不在生产现场时,510件产品中合格品有493件,次品有17件,试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程.
已知曲线在直角坐标系下的参数方程为(为参数).以为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与曲线交于点,与直线交于,求线段的长.
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【题目】某厂生产和两种产品,按计划每天生产各不得少于10吨,已知生产产品吨需要用煤9吨,电4度,劳动力3个(按工作日计算).生产产品1吨需要用煤4吨,电5度,劳动力10个,如果产品每吨价值7万元, 产品每吨价值12万元,而且每天用煤不超过300吨,用电不超过200度,劳动力最多只有300个,每天应安排生产两种产品各多少才是合理的?
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【题目】已知数列的通项公式是.
(1)判断是否是数列中的项;
(2)试判断数列中的各项是否都在区间内;
(3)试判断在区间内是否有无穷数列中的项?若有,是第几项?若没有,请说明理由.
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【题目】记全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{4,6,7,8}
B.{2}
C.{7,8}
D.{1,2,3,4,5,6}
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