【题目】已知函数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若恰有两个极值点,求实数m的取值范围.
【答案】(1)当时,
为常数函数,无单调性;当
时,
单调增区间是
,单调减区间是
;当
时,
单调增区间是
,单调减区间是
;(2)
.
【解析】
(1)先求导,对分类讨论,即可求解;
(2)函数有两个极值点,转化为导函数在定义域内有两个不同的零点,通过分离参数,构造新函数,把两个零点转为新函数的图像与直线有两个交点,利用求导作出新函数的图像,即可求解.
(1)的定义域为
,
,
当时,
为常数函数,无单调性;
当时,令
;
当时,令
;
综上所述,当时,
为常数函数,无单调性;
当时,
单调增区间是
,单调减区间是
;
当时,
单调增区间是
,单调减区间是
;
(2)由题意,的定义域为
,
且,若
在
上有两个极值点,
则在
上有两个不相等的实数根,
即 ①有两个不相等的正的实数根,
当时,
不是
的实数根,
当时,由①式可得
,
令,
,
单调递增,又
;
单调递增,且
;
单调递减,且
;
因为;
所以左侧,
;
右侧,
;
,
;
所以函数的图像如图所示:
要使在
上有两个不相等的实数根,
则
所以实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:
月收入(单位百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;
月收入低于55百元的人数 | 月收入不低于55百元的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼,随机抽取50条作为样本进行统计,按海鱼重量(克)得到如图的频率分布直方图:
(1)若经销商购进这批海鱼100千克,试估计这批海鱼有多少条(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);
(2)根据市场行情,该海鱼按重量可分为三个等级,如下表:
等级 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
重量(g) |
若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据,视频率为概率.现从这批海鱼中随机抽取3条,记抽到二等品的条数为X,求x的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:
(i)老年人的人数多于中年人的人数;
(ii)中年人的人数多于青年人的人数;
(iii)青年人的人数的两倍多于老年人的人数.
①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.
②抽取的总人数的最小值为__________.
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