Question

自选题：不等式选讲：已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（I）求证：2＜x₁+x₂＜6，|x₁-x₂|＜2；
（II）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|＜|f（x₁）-f（x₂）|＜5|x₁-x₂|．

Answer 1

【答案】分析：（I）对已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．进行去掉绝对值后再利用不等式的性质即可得到x₁+x₂的范围，由于|x₁-x₂|≤|x₁-2|+|x₂-2|再对右边利用题中条件即可证得．
（II）利用）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁²-x₂²-x₁+x₂|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|，对最后一个式子利用（I）中的结论进行放缩即可证明得．
解答：证明：（I）∵|x₁-2|＜1，∴-1＜x₁-2＜1，即1＜x₁＜3，（2分）
同理1＜x₂＜3，∴2＜x₁+x₂＜6，（4分）
∵|x₁-x₂|=|（x₁-2）-（x₂-2）|≤|x₁-2|+|x₂-2|，
∴|x₁-x₂|＜2；（5分）
（II）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁²-x₂²-x₁+x₂|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|，（8分）
∵2＜x₁+x₂＜6，∴1＜x₁+x₂-1＜5，
∴|x₁-x₂|＜|f（x₁）-f（x₂）|＜5|x₁-x₂|（10分）
点评：本题主要考查了不等式的证明、绝对值不等式的应用，属于中档题．