【题目】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)求得函数的导数,求得切线的斜率和切点的坐标,即可求解其切线的方程,得到答案.
(2)由函数的导函数为,分类讨论,进而可求得函数的单调区间.
(1)由题意,函数,
则,
可得曲线在点处的切线斜率为,切点坐标为,
所以切线的方程为,即.
(2)函数的导函数为,
①当时,,
若,则,单调递减,
若,则,单调递增.
②当时,若,则,单调递减;
若,则,单调递增.
③当时,若,则在R上单调递增.
若,则,即为,可得或;
,即为,可得.
若,则,即为,可得或;
,即为,可得.
综上可得,当,的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为R;
当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.
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【题目】某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”,否则称其“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从采访的女性用户中按分层抽样的方法选出10人,再从中随机抽取3人赠送礼品,求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.
参考数据:
P() | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参考公式:,其中.
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【题目】已知f(x)=axex﹣lnx﹣x.
(Ⅰ)若f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)已知a=1,若对任意的x>0,均有f(x)>cx2﹣2x+1成立,求实数c的取值范围.
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【题目】设定义在R上的函数,当时,取极大值,且函数的图象关于原点对称.
(1)求的表达式;
(2)试在函数的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在上;
(3)设,,求证:.
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【题目】已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形,以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于两点,探究在轴上是否存在定点,使得为定值?若存在,试求出定值和点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:
①存在平面γ,使得α,β都平行于γ
②存在两条不同的直线l,m,使得lβ,mβ,使得l∥α,m∥α
③α内有不共线的三点到β的距离相等;
④存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
其中,可以判定α与β平行的条件有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】前些年有些地方由于受到提高的影响,部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识,把大量的污染物排放到空中与地下,严重影响了人们的正常生活,为此政府进行强制整治,对不合格企业进行关闭,整顿,另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物,通过几年的整治,环境明显得到好转,针对政府这一行为,老百姓大大点赞.
(1)某机构随机访问50名居民,这50名居民对政府的评分(满分100分)如下表:
分数 | ||||||
频数 | 2 | 3 | 11 | 14 | 11 | 9 |
请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图:
(2)当地环保部门随机抽测了2019年6月的空气质量指数,其数据如下表:
空气质量指数 | 0—50 | 50—100 | 100—150 | 150—200 |
天数 | 2 | 18 | 8 | 2 |
用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别,求出该月空气质量指数级别为第几级?(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,将频率视为概率)(相关知识参见附表)
(3)空气受到污染,呼吸系统等疾病患者最易感染,根据历史经验,凡遇到空气轻度污染,小李每天会服用有关药品花费50元,遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元,试估计2019年11月份(参考(2)中表格数据)小李比以前少花了多少钱的医药费?
附:
空气质量指数 | 0-50 | 50-100 | 100-150 | 150-200 | 200-300 | >300 |
空气质量指数级别 | I | II | III | IV | V | VI |
空气质量指数 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
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