Question

（1）已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=

2an2+3an+m

an+1

(n∈N*)，①若恒有a_n+1≥a_n，求m的取值范围．②在-3≤m＜1时，证明：

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

（2）设正项数列{a_n}的通项a_n满足条件：（a_n）ⁿ+na_n-1=0（n∈N^*），求证：0＜an≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）①将该不等式进行等价转化，利用分离变量思想转化为函数恒成立问题，从而求出m的取值范围；
②将每一项进行适当放缩转化，通过放缩转化化为特殊数列进行求和，即可证明．
（2）构造函数，通过函数的导数，判断函数的单调性，利用零点存在定理，判断即可．

解答：解：（1）①由题意可知an+1=

2an2+3an+m

an+1

≥a_n，可得m≥-

a

2 n

 -an，
因为a_n+1≥a_n，所以数列是递增数列，
∴m≥-3．
②-3≤m＜1时，由①知a_n+1≥a_n，且a_n＞0．
设数列cn=

1

an+1

，则cn+1=

1

an+1+1

=

1

2 a 2 n +3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，
∵m＜1，即m-1＜0，
故cn+1＞

an+1

2(an+1)2

=

1

2

•

1

an+1

=

1

2

cn，
∴c1=

1

2

，c2＞

1

2

c1=

1

22

，c3＞

1

2

c2＞

1

23

，…，cn＞

1

2

cn-1＞

1

2n

(n≥2)
∴c1+c2+…+cn=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

＞

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
即在-3≤m＜1时，有

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

成立．
cn=

1

an+1

（2）令f（x）=xⁿ+nx-1，
f′（x）=nx^n-1+n，
x＞0，f′（x）＞0，所以函数是增函数，
∵f(0)＜0  ， f(

1

2

)≥0
所以f（x）=0在（0，+∞）上恰有一根，且根在(0，

1

2

]上，
得证

点评：本题考查给出数列的递推关系，考查根据数列的递推关系确定数列的通项公式的方法，关键要转化为特殊数列，考查学生的转化与化归思想，处理数列恒成立问题的函数思想．放缩法证明不等式的思想，做好这类问题的关键是向特殊数列的转化．