Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．
（Ⅰ） 求证：直线EA⊥平面PAB；
（Ⅱ） 求直线AE与平面PCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED为直角的Rt△；
又∵AB∥CD，∴EA⊥AB；
又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA；
且AB∩PA=A，
∴EA⊥平面PAB；
（Ⅱ）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点，
∵CD⊥EA，CD⊥PA，且PA∩EA=A，
∴CD⊥平面PAE；
又AH平面PAE，
∴AH⊥CD；
又AH⊥PE，且CD∩AE=E，
∴AH⊥平面PCD，
∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角
在Rt△PAE中，∵PA=2，AE= = ，
∴tan∠AEP= = = ．

【解析】（1）只需证明直线EA⊥AB，且EA⊥PA即可；（2）先证明AH⊥平面PCD，得出∠AEP为直线AE与平面PCD所成角，在Rt△PAE中计算tan∠AEP的值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．