Question

17．在直角坐标系中，已知M（2，1）和直线L：x-y=0，试在直线L上找一点P，在X轴上找一点Q，使三角形MPQ的周长最小，最小值为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作出M（2，1）关于直线L：x-y=0的对称点N（1，2），作出M（2，1）关于x轴的对称点E（2，-1），连结MN，交直线L于P，交x轴于E，从而得到三角形MPQ的周长最小时，最小值为|NE|．

解答 解：如图，作出M（2，1）关于直线L：x-y=0的对称点N（1，2），
作出M（2，1）关于x轴的对称点E（2，-1），
连结MN，交直线L于P，交x轴于E，
∵MP=PN，MQ=QE，∴三角形MPQ的周长为线段NE的长，
由两点间线段最短得此时三角形MPQ的周长最小，
∴三角形MPQ的周长最小时，最小值为：
|NE|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查三角形周长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意转化思想的合理运用．