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已知二次函数f(x)=4x2-kx+12.
(1)若函数f(x)在区间[5,+∞)是增函数,求常数k的取值范围;
(2)若不等式f(x)<4x的解为1<x<3,求常数k的值;
(3)若函数f(x)在区间[5,20]上的最大值为12,求常数k的值.
分析:(1)二次函数f(x)的图象是抛物线,开口向上,对称轴右侧是增函数,由此可得k的取值范围;
(2)由f(x)<4x得,可得一元二次不等式,结合一元二次方程根与系数的关系,可求得k的值;
(3)由于函数f(x)的对称轴是变化的,要讨论对称轴在区间[5,20]上,还是在区间[5,20]外,根据函数f(x)的增减性写出最大值,从而求出k的值.
解答:解:(1)∵函数f(x)=4x2-kx+12的图象是抛物线,且开口向上,对称轴x=
k
8
的右侧是增函数,故令
k
8
≤5,解得k≤40,∴k的取值范围是{k|k≤40};
(2)由f(x)<4x得,4x2-kx+12<4x,整理,得4x2-(k+4)x+12<0,∵该一元二次不等式的解为1<x<3,∴
k+4
4
=1+3,∴k=12;
(3)∵二次函数f(x)=4x2-kx+12的对称轴是x=
k
8
,令
k
8
≤5,得k≤40;即当k≤40时,f(x)在[5,20]上是增函数,在x=20处取得最大值f(20)=12,此时k=80,不适合,舍去;
k
8
≥20,得k≥160;即当k≥160时,f(x)在[5,20]上是减函数,且在x=5处取得最大值f(5)=12,此时k=20,不适合,舍去;
令5≤
k
8
≤20,得40≤k≤160,此时f(x)在[5,20]上的最大值是f(20)=12,或f(5)=12,解得k=80,或k=20(舍去);
综上,得k=80.
点评:本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题,以及二次函数当对称轴变化时在闭区间上的最值问题,是高考中的热点.
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