Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c．下列给出的四个条件：
①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sin2A＞sin2B；④cos2A＜cos2B．
其中“a＞b”的充要条件是________（写出所有正确条件的序号）．

Answer 1

①、②、④
分析：①利用正弦定理，sinA＞sinB 等价于 a＞b．
②由cosA＜cosB，利用同角三角函数的基本关系可得sinA＞sinB，
③由sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，举反例说明．
④由cos2A＜cos2B，可得sinA＞sinB，故等价于 a＞b．
解答：由①sinA＞sinB，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB 等价于 a＞b．
由②cosA＜cosB，利用同角三角函数的基本关系可得sinA＞sinB，等价于a＞b．
由③sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如 A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b．
由④cos2A＜cos2B，利用二倍角公式即 1-2sin²A＜1-2sin²B，∴sin²A＞sin²B，
∴sinA＞sinB，故等价于 a＞b．
故答案为①、②、④．
点评：本题考查正弦函数的单调性，正弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形中有大角对大边，将命题转化是解题的关键．