Question

（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知函数，其中常数a > 0．

(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；

(2) 求函数f(x)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）任取0<x₁<x₂≤2，则f(x₁)–f(x₂)=，

因为0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)；

（2）。

【解析】

试题分析：(1) 当时，，…………………………………………1分

任取0<x₁<x₂≤2，则f(x₁)–f(x₂)=………………3分

因为0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)………………………………………5分

所以函数f(x)在上是减函数；………………………………………………………6分

(2)，……………………………………………………7分

当且仅当时等号成立，…………………………………………………………8分

当，即时，的最小值为，………………………10分

当，即时，在上单调递减，…………………………………11分

所以当时，取得最小值为，………………………………………………13分

综上所述： ………………………………………14分

考点：函数的单调性和最值；基本不等式。

点评：用定义法证明函数单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论，其中最重要的是四变形，最好变成几个因式乘积的形式，这样便于判断符号。