Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）lnx﹣（x﹣a）2（a∈R）． （Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 求证：x1+x2＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知， 恒成立

令 ，则 ，

﹣（2x+1）＜0，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，

故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

∴g（x）max=g（1）=2a﹣2∴由f'（x）≤0恒成立可得a≤1．

即当f（x）在（0，+∞）上单调递减时，a的取值范围是（﹣∞，1]．

（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，不妨设0＜x1＜x2．

由（Ⅰ）可知a＞1，且f′（x1）=lnx1﹣ ﹣2x1+1+2a①，f′（x2）=lnx2﹣ ﹣2x2+1+2a②，

由①﹣②得： ∴ ∴ ，即 ，

由①+②得： ，

∴

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（x）≤0恒成立，令 ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到g（x）max≤0，求出a的范围即可；（Ⅱ）根据f′（x1）=lnx1﹣ ﹣2x1+1+2a①，f′（x2）=lnx2﹣ ﹣2x2+1+2a②，得到：x1+x2的解析式，从而证明结论即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．