Question

已知周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷点，则点落在△OAB内的概率是多少？

Answer 1

分析：根据扇形面积公式，利用基本不等式，求出当圆心角α=2时，扇形的面积S有最大值，再利用几何概型计算公式，即可求出所求的概率．

解答：解：设扇形周长为m，半径为r，则弧长l=m-2r．
∴扇形的面积S=

1

2

lr=

1

2

r（m-2r）=

1

4

•2r•（m-2r）
∵2r•（m-2r）≤[

2r+(m-2r)

2

]2=

m2

4

，
∴当且仅当r=

m

4

时，扇形的面积S的最大值为

m2

16

．
此时扇形的弧长为

1

2

m，故此时扇形的圆心角为α=

l

r

=2
因此，点落在△OAB内的概率为
P=

S△AOB

S扇形

=

1 2 |OA|•|OB|sinα

m2 16

=

1 2 • m 4 • m 4 sin2

m2 16

=

1

2

sin2
答：当扇形面积最大时，向其内任意掷点，该点落在△OAB内的概率是

1

2

sin2．

点评：本题给出周长为定值的扇形，求其面积最大时掷点，能落在在△OAB内的概率．着重考查了扇形的面积公式、弧长公式、基本不等式求最值和几何概型等知识，属于中档题．