Question

8．已知函数f（x）=a ln（x+1）+$\frac{1}{2}$ax²-x．
（1）若f（x）在（-1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）定义：若直线l与曲线C有公共点M，且在点M左右附近，曲线在直线的异侧，则称直线l在点M处穿过曲线C．
若a＞0，设f（x）在点（t，f（t））（t＞-1）处的切线为l．求证：直线l在切点（t，f（t））处穿过f（x）的图象的充要条件是t=0．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（-1，+∞）上单调递增，f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+ax-1≥0在（-1，+∞）上恒成立，分离参数a≥$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$在（-1，+∞）上恒成立，求出右边函数的最大值，即可求实数a的取值范围；
（2）f′（x）≥f′（0）对x＞-1恒成立，再按照充分性、必要性进行证明即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+ax-1≥0在（-1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$在（-1，+∞）上恒成立，
设F（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$（x＞-1），则F′（x）=-$\frac{x（x+2）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$，
x∈（-1，0），F′（x）＞0；x∈（0，+∞），F′（x）＜0，
∴F（x）_max=F（0）=1，
∴a≥1；
（2）f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+ax-1，切线l：y=g（x）=f′（t）（x-t）+f（t），
设h（x）=f（x）-g（x），则h（t）=0，h′（x）=f′（x）-f′（t），h′（t）=0，
x∈（-1，0），[f′（x）]′＜0；x∈（0，+∞），[f′（x）]′＞0，
∴f′（x）≥f′（0）对x＞-1恒成立
充分性，若t=0，则x∈（-1，+∞），f′（x）≥f′（0），h′（x）=f′（x）-f′（0）≥0，h（x）在（-1，+∞）上单调递增，x∈（-1，0），h（x）=f（x）-g（x）＜h（0）=0，∴f（x）＜g（x），在切点左侧曲线总在l下方；x∈（0，+∞），h（x）=f（x）-g（x）＞h（0）=0，∴f（x）＞g（x），在切点右侧曲线总在l上方，即直线l在切点（t，f（t））处穿过f（x）的图象；
必要性，假设t≠0，
若t＞0，则x∈（t，+∞），f′（x）＞f′（t），h′（x）=f′（x）-f′（t）＞0，h（x）单调递增，
h（x）=f（x）-g（x）＞h（t）=0，∴f（x）＞g（x），在切点右侧曲线总在l上方；
x∈（0，t），f′（x）＜f′（t），h′（x）=f′（x）-f′（t）＜0，h（x）单调递减，
h（x）=f（x）-g（x）＞h（t）=0，∴f（x）＞g（x），在切点左侧（0，t），曲线总在l上方，
∴t＞0，直线l在切点（t，f（t））处不能穿过f（x）的图象；
同理t∈（-1，0），直线l在切点（t，f（t））处不能穿过f（x）的图象，
∴t=0是直线l在切点（t，f（t））处能穿过f（x）的图象的必要条件，
∴直线l在切点（t，f（t））处穿过f（x）的图象的充要条件是t=0．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查充分必要条件的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．