已知数列{an}是等差数列，cn=an2-an+12（n∈N*）
（1）判断数列{cn}是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果a1+a3+…+a25=130，a2+a4+…+a26=143-13k（k为常数），试写出数列{cn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列{cn}得前n项和为Sn，问是否存在这样的实数k，使Sn当且仅当n=12时取得最大值．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】
分析：（1）设{a
n}的公差为d，则c
n+1-c
n=（a
n+12-a
n+22）-（a
n2-a
n+12）=-2d
2，所以数列{c
n}是以-2d
2为公差的等差数列．
（2）由a
1+a
3+…+a
25=130a
2+a
4+…+a
26=143-13k，知13d=13-13k，d=1-k，由此能导出a
n=a
1+（n-1）d=（1-kn+（13k-3）），由此能求出数列{c
n}的通项公式．
（3）因为当且仅当n=12时S
n最大，所以c
12＞0，c
13＜0，由此能求出k的取值范围．
解答：解：（1）设{a
n}的公差为d，则c
n+1-c
n=（a
n+12-a
n+22）-（a
n2-a
n+12）=2a
n+12-（a
n+1-d）
2-（a
n+1+d）
2=-2d
2∴数列{c
n}是以-2d
2为公差的等差数列（4分）
（2）∵a
1+a
3+…+a
25=130a
2+a
4+…+a
26=143-13k∴两式相减：13d=13-13k
∴d=1-k（6分）
∴
∴a
1=-2+12k（8分）
∴a
n=a
1+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3）
∴c
n=a
n2-a
n+12=（a
n+a
n+1）（a
n-a
n+1）=26k
2-32+6-（2n+1）（1-k
2）=-2（1-k）
2•n+25k
2-30k+5（10分）
（3）因为当且仅当n=12时S
n最大
∴有c
12＞0，c
13＜0（12分）
即
（15分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
