Question

用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的

(1)银行存折的四位密码?

(2)四位数?

(3)四位奇数?

Answer 1

思路解析:(1)可以分步选取数字,作四位密码的四个位置上的数字,且所取数字不能重复;(2)可以分步选取数字,分别做出千位数字、百位数字、十位数字和个位数字,且所取数字不能重复.与(1)的不同之处是千位数字不能取0;(3)四位奇数的个位只能是1或3,因此符合条件的四位奇数可以分为个位数字是1和个位数字是3的两类,每一类中再分步.要注意千位数字不能取0,且所取数字不能重复.

解:(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以分四个步骤:

第一步:选取左边第一个位置上的数字,有5种选取的方法;

第二步:选取左边第二个位置上的数字,有4种选取的方法;

第三步:选取左边第三个位置上的数字,有3种选取的方法;

第四步:选取左边第四个位置上的数字,有2种选取的方法.

由分步乘法计数原理,可组成不同的四位密码共有

N=5×4×3×2=120(个).

(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分四个步骤:

第一步:从1,2,3,4中选取一个数字做千位数字,有4种不同的选取方法;

第二步:从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字,有4种不同的选取方法;

第三步:从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字,有3种不同的选取方法;

第四步:从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字,有2种不同的选取方法.

由分步乘法计数原理,可组成不同的四位数共有

N=4×4×3×2=96(个).

(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,有两类办法:

第一类办法:四位奇数的个位取数字1,这件事分三个步骤完成:

第一步:从2,3,4中选取一个数字做千位数字,有3种不同的选取方法;

第二步:从2,3,4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个数字做百位数字,有3种不同的选取方法;

第三步:从剩余的两个数字中,选取一个数字做十位数字,有2种不同的选取方法.

由分步乘法计数原理,第一类中的四位奇数共有

N₁=3×3×2=18(个).

第二类办法:四位奇数的个位取数字3,这件事分三个步骤完成:

第一步:从1,2,4中选取一个数字做千位数字,有3种不同的选取方法;

第二步:从1,2,4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个数字做百位数字,有3种不同的选取方法;

第三步:从剩余的两个数字中,选取一个数字做十位数字,有2种不同的选取方法.

由分步乘法计数原理,第二类中的四位奇数共有

N₂=3×3×2=18(个).

最后,由分类加法计数原理,符合条件的四位奇数共有

N=N₁+N₂=18+18=36(个).

方法归纳  在解决具体问题时,要弄清楚是“分类”还是“分步”,还要弄清“分类”或者“分步”的具体标准是什么.