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    设同时满足条件：①数学公式；②bn≤M（n∈N+，M是与n无关的常数）的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足：数学公式（a为常数，且a≠0，a≠1）．
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）设数学公式，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明此时数学公式为“嘉文”数列．

    解：（1）因为，所以a1=a
    当n≥2时，，即{an}以a为首项，a为公比的等比数列．
    ∴； …（4分）
    （2）由（1）知，，
    若{bn}为等比数列，则有，而b1=3，，
    故，解得…（7分）
    再将代入得：，其为等比数列，所以成立…（8分）
    由于①…（10分）
    （或做差更简单：因为，所以也成立）
    ②，故存在；
    所以符合①②，故为“嘉文”数列…（12分）
    分析：（1）当n≥2时，，从而可得{an}以a为首项，a为公比的等比数列，由此可求{an}的通项公式；
    （2）确定数列{bn}的通项，利用{bn}为等比数列，可求a的值；验证“嘉文”数列的两个条件，即可证得．
    点评：本题考查等比数列的定义与通项，考查新定义，解题的关键是理解新定义，正确运用新定义，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•马鞍山二模）设同时满足条件：①
    bn+bn+2
    2
    ≥bn+1    ；②bn≤M（n∈N+，M是与n无关的常数）的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=
    a
    a-1
    (an-1)    （a为常数，且a≠0，a≠1）．
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）设bn=
    2Sn
    an
    +1    ，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明此时{
    1
    bn
    }    为“嘉文”数列．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设同时满足条件：①
    bn+bn+22
    ≤bn+1    （n∈N*）；②bn≤M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{bn} 叫“特界”数列．
    （Ⅰ）若数列{an} 为等差数列，Sn是其前n项和，a3=4，S3=18，求Sn；
    （Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （09年济宁质检一文）（12分）

    设同时满足条件：①；②(是与无关的常数)的无穷数列叫“特界” 数列.

    （Ⅰ）若数列为等差数列，是其前项和，，求；

    （Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列是否为“特界” 数列，并说明理由.

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年浙江省台州市高三上学期期末文科数学试卷 题型：解答题

    已知数列是首项为，公比为的等比数列.数列满足，是的前项和.

    （Ⅰ）求；

    （Ⅱ）设同时满足条件：①；②(，是与无关的常数)的无穷数列叫“特界”数列.判断（1）中的数列是否为“特界”数列，并说明理由．

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省青岛市高三上学期期末考试文科数学 题型：解答题

    （本小题满分12分）

    设同时满足条件：①；②(，是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）． 

    （Ⅰ）求的通项公式；[来源:学*科*网Z*X*X*K]

    （Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值，并证明此时为“嘉文”数列.

     

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