Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，
（i）求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（ii）求函数G（x）=[f'（x）+（m+2）x+m]e^-x（m∈R）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，因为x=1是函数的极值点，把x=1代入导函数得到导函数的值为0，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）把x=1代入切线方程即可求出f（1）的值即可得到切点坐标，然后把切点坐标f（x）中得到关于a与b的关系式，同时把x=1代入到导函数中求出的值即为切线方程的斜率，而切线方程的斜率为-1，又得到关于a的关系式，求出a的值，把a的值代入前面的关系式中得到b的值，即可得到f（x）和导函数的解析式，（i）令导函数等于0得到f（x）的极值点，同时-2和4也为函数的极值点，把四个极值点分别代入到f（x）的解析式中即可得到f（x）的最大值；（ii）把f（x）的导函数代入G（x）的解析式中确定出G（x）的解析式，并求出G（x）的导函数，令导函数等于0，得到相应的x的值，然后利用x的值，由m大于2和小于2两种情况讨论导函数大于0即可相应x的范围即为函数的增区间；导函数小于0即可求出相应x的范围即为函数的减区间．

解答：解：（1）f'（x）=x²-2ax+a²-1．
∵x=1是极值点∴f'（1）=0，即a²-2a=0∴a=0或2．
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上．∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上∴2=

1

3

-a+a2-1+b
又f'（1）=k=-1，∴1-2a+a²-1=-1
∴a2-2a+1=0，a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x2-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x．

（i）由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8，
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．

（ii）G（x）=（x²+mx+m）e^-x，得到G'（x）=（2x+m）e^-x-e^-x（x²+mx+m）=e^-x[-x²+（2-m）x]
令G'（x）=0，得x=0，x=2-m
当m=2时，G'（x）≤0，此时G（x）在（-∞，+∞）单调递减
当m＞2时：

当时G（x）在（-∞，2，-m），（0，+∞）单调递减，在（2-m，0）单调递增．
当m＜2时：

此时G（x）在（-∞，0），（2-m+∞）单调递减，在（0，2-m）单调递增，
综上所述：当m=2时，G（x）在（-∞，+∞）单调递减；
m＞2时，G（x）在（-∞，2-m），（0，+∞）单调递减，在（2-m，0）单调递增；
m＜2时，G（x）在（-∞，0），（2-m，+∞）单调递减，在（0，2-m）单调递增．

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的极值，会利用导数求闭区间上函数的最值，会利用导数求曲线上过某点曲线方程的斜率，是一道综合题．