Question

【题目】已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数.若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）设，，，由，可得由，所以代入即可求得椭圆方程；
（2）由题意设直线的方程为：，，，

将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得则

，因此存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，使得与的斜率之积为常数．
试题解析：（1）设，，，

由于，所以 ，

即，所以，

又，所以，从而.

即曲线的方程为：.

（2）由题意设直线的方程为：，，，

由得：，

所以.

故 ，

，

假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则

.

当，且时，为常数，解得.

显然当时，常数为；当时，常数为，

所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为.