如图,二面角α-DC-β是α度的二面角,A为α上一定点,且ΔADC面积为S,DC=a,过点A作直线AB,使AB⊥DC且与半平面β成30°的角,求α变化时,ΔDBC面积的最大值.
解析:在α内作AE⊥DC于E,则AE为ΔADC的高,则有AE·DC=,AE=. 由于DC⊥AE,DC⊥AB,则有DC⊥ΔAEB所在的平面,所以DC⊥BE,则∠AEB是二面角α-DC-β的平面角,即∠AEB=α. 又由于DC⊥ΔAEB所在平面,且DC在β上,所以平面β⊥ΔAEB所在平面. 令AF⊥BE于F,则有AF⊥平面β,于是,FB是AB在平面β上的射影,所以∠ABE是AB与β所成的角. ∴∠ABE=30°,在ΔAEB中,有=,∴EB=sin(α+30°). 据题意,有α∈(0°,180°),当α=60°时,有EBmax=,这时(SΔDBC)max=a·=2S. 说明:本例对直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角的平面角,点到直线的距离,点到平面的距离等概念以及三垂线定理和逆定理的考察是很深刻的,综合了直线与平面这一章的一些主要知识. |
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年安徽省合肥市高三第一次教学质置检测理科数学卷 题型:解答题
如图,长方体中,DA = DC =2,’E是的中点,F是C/:的中点.
(1)求证:平面BDF
(2)求证:平面BDF平面
(3)求二面角D-EB-C的正切值.
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科目:高中数学 来源:2011届安徽省合肥市高三第一次教学质置检测理科数学卷 题型:解答题
如图,长方体中,DA = DC =2,’E是的中点,F是C/:的中点.
(1)求证:平面BDF
(2)求证:平面BDF平面
(3)求二面角D-EB-C的正切值.
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