【题目】设函数,.
(1)求函数的极值;
(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.
【答案】(1)当时, 无极值;当时, 极小值为;(2).
【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,即可容易求得函数的极值;
(2)构造函数,两次求导,根据函数单调性,由恒成立问题求参数范围即可.
(1)依题,
当时,,函数在上单调递增,此时函数无极值;
当时,令,得,
令,得
所以函数在上单调递增,
在上单调递减.
此时函数有极小值,
且极小值为.
综上:当时,函数无极值;
当时,函数有极小值,
极小值为.
(2)令
易得且,
令
所以,
因为,,从而,
所以,在上单调递增.
又
若,则
所以在上单调递增,从而,
所以时满足题意.
若,
所以,,
在中,令,由(1)的单调性可知,
有最小值,从而.
所以
所以,由零点存在性定理:
,使且
在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,.
故当,不成立.
综上所述:的取值范围为.
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【题目】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和,假设两人射击是否击中目标相互没有影响,每人每次射击是否击中目标相互也没有影响.
(1)求甲、乙两人各射击一次均击中目标的概率;
(2)若乙在射击中出现连续次未击中目标则会被终止射击,求乙恰好射击次后被终止射击的概率.
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【题目】如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为PC中点,E为AD中点,PA=AC=2,BC=1.
(1)求证:AD⊥平面PBC:
(2)求PE与平面ABD所成角的正弦值.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:万元)对年销售量(单位:吨)和年利润(单位:万元)的影响.对近六年的年宣传费和年销售量()的数据作了初步统计,得到如下数据:
年份 | ||||||
年宣传费(万元) | ||||||
年销售量(吨) |
经电脑模拟,发现年宣传费(万元)与年销售量(吨)之间近似满足关系式().对上述数据作了初步处理,得到相关的值如表:
(1)根据所给数据,求关于的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润与,的关系为若想在年达到年利润最大,请预测年的宣传费用是多少万元?
附:对于一组数据,,…,,其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
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【题目】已知椭圆与过其右焦点F(1,0)的直线交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,且直线l与直线OD的斜率之积为.
(1)求C的方程;
(2)设椭圆的左顶点为M,kMA,kMB分别表示直线MA,MB的斜率,求证.
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【题目】已知圆C:,直线l过定点.
(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(2)若直线l与圆C相交于P,Q两点,求的面积的最大值,并求此时直线l的方程.
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【题目】某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况,随机抽取了100名学生进行调查,其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图:
将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康类学生,已知体育健康类学生中有10名女生.
(1)根据已知条件完成下面列联表,并据此资料你是否有的把握认为达到体育健康类学生与性别有关?
非体育健康类学生 | 体育健康类学生 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(2)将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康类学生,已知体育健康类学生中有2名女生,若从体育健康类学生中任意选取2人,求至少有1名女生的概率.
附:
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