Question

14．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π+$\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$，则该几何体的表面积的值为（　　）

• A． 20π-8+4$\sqrt{14}$
• B． 20π+2$\sqrt{14}$
• C． 20π-8+2$\sqrt{14}$
• D． 20π+4$\sqrt{14}$

Answer 1

分析 几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为4的正方形，侧棱长是3，下面是一个圆柱，底面直径是4，母线长是x，写出几何体的体积，得到关于x的方程，解出结果，即可求出该几何体的表面积的值．

解答 解：由三视图知，几何体是一个组合体，
上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为4的正方形，
侧棱长是3，根据直角三角形勾股定理知圆锥的高是$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
下面是一个圆柱，底面直径是4，母线长是x，
∵几何体的体积为12π+$\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$，
∴π•4x+$\frac{1}{3}×（2\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{5}$=12π+$\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$，∴x=3，
∴该几何体的表面积的值为π•2²+[π•2²-（2$\sqrt{2}$）²]+2π×2×3+4×$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{9-2}$=20π-8+4$\sqrt{14}$．
故选：A．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积、表面积，考查由三视图还原几何体，实际上本题不是直接求体积，而是根据体积的值列出关于x的方程，解方程即可．