Question

3．已知数列{a_n}、{b_n}，满足a_n+1=-a_n-2b_n，且b_n+1=6a_n+6b_n，又a₁=2，b₁=4，求a_n、b_n的通项公式．

Answer 1

分析 根据数列递推关系，建立方程，利用构造法得到数列{a_n+1-3a_n}是公比q=2的等比数列，求出其通项公式后两边同时除以3ⁿ⁺¹，然后利用累加法求得数列a_n的通项公式，进一步得到b_n的通项公式．

解答 解：∵a₁=2，b₁=4，
∴a₂=-a₁-2b₁=-2-8=-10，
由a_n+1=-a_n-2b_n，得a_n+1+a_n=-2b_n，
∵b_n+1=6a_n+6b_n，
∴b_n+1=6a_n-3a_n+1-3a_n=-3a_n+1+3a_n，
即a_n+2+a_n+1=-2b_n+1=-2（-3a_n+1+3a_n），
即a_n+2=5a_n+1-6a_n，
则a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），
即数列{a_n+1-3a_n}是公比q=2的等比数列，首项为a₂-3a₁=-16，
则a_n+1-3a_n=-2ⁿ⁺³，
两边同除以3ⁿ⁺¹，得$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=-\frac{{2}^{n+3}}{{3}^{n+1}}$=-4×（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，
则$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{3}$=-4×（$\frac{2}{3}$）²，
$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$=-4×（$\frac{2}{3}$）³，
…
$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=-4×（$\frac{2}{3}$）^n-1，
等式两边同时相加得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{1}}{3}$=-4×$\frac{\frac{4}{9}-（\frac{2}{3}）^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{1}}{3}$-4×$\frac{\frac{4}{9}-（\frac{2}{3}）^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}$=3×（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹-4，
即a_n=2ⁿ⁺¹-4•3ⁿ，
则a_n+1=2ⁿ⁺²-4•3ⁿ⁺¹；
∴b_n=6a_n-1+6b_n-1=8•3ⁿ-3•2ⁿ．
综上：a_n=2ⁿ⁺¹-4•3ⁿ，b_n=6a_n-1+6b_n-1=8•3ⁿ-3•2ⁿ．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，考查计算能力，是中档题．