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已知f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a(a∈R,a为常数).
(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,
π
2
]时,f(x)的最大值为4,求a的值.
考点:三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题:三角函数的图像与性质
分析:(1)首先,化简函数解析式,得到f(x)=2sin(2x+
π
6
)+a+1,然后,根据周期公式求解其周期即可;
(2)根据x∈[0,
π
2
],结合三角函数的性质得到2sin(2x+
π
6
)+a+1∈[a,3+a],然后根据函数的最值,确定待求的值.
解答: 解:(1)∵f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a
=1+cos2x+
3
sin2x+a
=2sin(2x+
π
6
)+a+1,
∴f(x)=2sin(2x+
π
6
)+a+1,
∴T=
2

∴f(x)的最小正周期π;
(2)∵x∈[0,
π
2
],
∴2x∈[0,π],
∴2x+
π
6
∈[
π
6
6
],
∴2sin(2x+
π
6
)∈[-1,2],
∴2sin(2x+
π
6
)+a+1∈[a,3+a],
∴3+a=4,
∴a=1.
即a的值1.
点评:本题综合考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式等知识,属于中档题.
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3
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1
2
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π
2
,0)中心对称;
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4
3
9
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