分析 (1)利用余弦定理求得ac=24.再结合a+c=10,可得a、c的值,求得cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$的值,可得sinA的值,从而求得sin(A+30°)的值.
(2)根据 A、B、C、D四点共圆,B=60°,求得 D=120°,再根据2AD=CD,△ACD中利用余弦定理求得AD的值,从而求得四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$•ac•sinB+$\frac{1}{2}$•AD•CD•sinD 的值.
解答 解:(1)利用余弦定理可得 b2=28=a2+c2-2ac•cos60°=(a+c)2-3ac=100-3ac,∴ac=24.
再结合a+c=10,可得a=4、c=6;或 a=6、c=4.
若a=4、c=6,则cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$,∴sinA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,
故sin(A+30°)=sinAcos30°+cosAsin30°=$\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$.
若a=6、c=4,则cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$,∴sinA=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$,
故sin(A+30°)=sinAcos30°+cosAsin30°=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}}{14}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$.
(2)∵A、B、C、D四点共圆,B=60°,∴D=120°,cosD=-$\frac{1}{2}$.
再根据2AD=CD,△ACD中利用余弦定理可得 b2=28=AD2+(2AD)2-2•AD•2AD•cos120°=5AD2+2AD2,
求得AD=2,∴CD=4,
∴四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$•ac•sinB+$\frac{1}{2}$•AD•CD•sinD=$\frac{1}{2}×24×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$.
点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,两角和差的正弦公式,用分割法求四边形的面积,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | -$\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{4}{3}$ | D. | -$\frac{4}{3}$ |
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