Question

18．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b=2$\sqrt{7}$，B=60°，a+c=10．
（1）求sin（A+30°）；
（2）若D为△ABC外接圆劣弧AC上的一点，且2AD=DC，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求得ac=24．再结合a+c=10，可得a、c的值，求得cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$的值，可得sinA的值，从而求得sin（A+30°）的值．
（2）根据 A、B、C、D四点共圆，B=60°，求得 D=120°，再根据2AD=CD，△ACD中利用余弦定理求得AD的值，从而求得四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$•ac•sinB+$\frac{1}{2}$•AD•CD•sinD 的值．

解答 解：（1）利用余弦定理可得 b²=28=a²+c²-2ac•cos60°=（a+c）²-3ac=100-3ac，∴ac=24．
再结合a+c=10，可得a=4、c=6；或 a=6、c=4．
若a=4、c=6，则cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
故sin（A+30°）=sinAcos30°+cosAsin30°=$\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
若a=6、c=4，则cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，∴sinA=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
故sin（A+30°）=sinAcos30°+cosAsin30°=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}}{14}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
（2）∵A、B、C、D四点共圆，B=60°，∴D=120°，cosD=-$\frac{1}{2}$．
再根据2AD=CD，△ACD中利用余弦定理可得 b²=28=AD²+（2AD）²-2•AD•2AD•cos120°=5AD²+2AD²，
求得AD=2，∴CD=4，
∴四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$•ac•sinB+$\frac{1}{2}$•AD•CD•sinD=$\frac{1}{2}×24×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式，用分割法求四边形的面积，属于中档题．