Question

6．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+4}$是定义在[-2，2]上的奇函数，且f（1）=$\frac{1}{5}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）利用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[-2，2]上是增函数；
（3）是否存在实数m，使得f（m-2）+f（sinθ-2m）＜0对任意θ∈R都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义求出b，利用f（1）=$\frac{1}{5}$，求出a，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用单调性的定义，即可证明；
（3）f（m-2）+f（sinθ-2m）＜0，可得f（m-2）＜f（-sinθ+2m），从而-2≤m-2＜-sinθ+2m≤2，即可求出m的取值范围．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+4}$是定义在[-2，2]上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴b=0，
∵f（1）=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{a}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+4}$；
（2）证明：设0≤x₁＜x₂≤2，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{（{{x}_{1}}^{2}+4）（{{x}_{2}}^{2}+4）}$，
∵0≤x₁＜x₂≤2，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，2]上是增函数；
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在[-2，0]上是增函数，
∴f（x）在[-2，2]上是增函数；
（3）解：f（m-2）+f（sinθ-2m）＜0，可得f（m-2）＜f（-sinθ+2m），
∴-2≤m-2＜-sinθ+2m≤2，
∴0≤m≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生转化问题的能力，属于中档题．