Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD ＝12 BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点.（1）求证：AB⊥面PAD； （2）求证：EF∥面PAD

Answer 1

（1）要证明线面垂直，关键是要通过线线垂直的证明，结合判定定理来得到，关键点 一步是AD⊥AB.
（2）要证明线面平行，关键是要通过线线平行的证明，结合判定定理来得到，通过做适当的辅助线，结合三角形的中位线平移，得到EF∥DQ.

试题分析：证明：（1）因为PD⊥面ABCD，

所以PD⊥AB.                     2分
在平面ABCD中，D作DM//AB，则由AB=12得
DM=12.又BC=10，AD＝BC，则AD=5，从而CM=5.
于是在△CDM中，CD=13，DM=12，CM=5，则
由及勾股定理逆定理得DM⊥BC .
又DM//AB，BC//AD，所以AD⊥AB.
又PD∩AD＝D，所以AB⊥面PAD.                                    6分
（2）[证法一] 取AB的中点N，连结EN、FN.
因为点E是棱PB的中点，所以在△ABP中，EN//PA.
又PAÌ面PAD，所以EN//面PAD.                                    8分
因为点F分别是边CD的中点，所以在梯形ABCD中，FN//AD.
又ADÌ面PAD，所以FN//面PAD.                                    10分
又EN∩FN＝N，PA∩DA＝A，所以面EFN//面PAD.                     12分
又EFÌ面EFN，则EF//面PAD.                                      14分
[证法二] 延长CD，BA交于点G.   
连接PG，EG，EG与PA交于点Q.
 
由题设AD∥BC，且AD＝ BC，所以CD＝DG，BA
＝AG，即点A为BG的中点.
又因为点E为棱PB的中点，所以EA为△BPG的中位线，即EA∥PG，且EA:PG＝1:2，故有EA:PG＝EQ:QG＝1:2.                        10分
又F是边CD的中点，并由CD＝DG，则有FD:DG
＝1:2.                                                          12分
在△GFE中，由于EQ:QG＝1:2，FD:DG＝1:2，所以EF∥DQ. 
又EFË面PAD，而DQÌ面PAD，所以EF∥面PAD.                    14分
点评：解决该试题的关键是熟练的结合线面平行和垂直的判定定理，找到线线的平行和垂直关系，属于基础题。