Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0，f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
∵f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=ax²+bx
又∵f（-x+5）=f（x-3）
∴函数f（x）的对称轴为x=1
∴
又∵方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有等根
∴（b-1）²=0
∴
∴
（2）假设存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]
∵
∴
∴
又函数f（x）的对称轴为x=1，且开口向下
∴f（x）在[m，n]上单调递增
∴，即
又m＜n
∴m=-4，n=0
∴存在实数m=-4，n=0满足题意
分析：（1）现设函数解析式，再根据条件用待定系数法求解未知量，即可确定函数解析式
（2）由已知条件确定原函数在[m．n]上的单调性，根据单调性列出方程组，解方程组即可
点评：本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，及二次函数的函数值和单调性．需注意条件的转化．属简单题