Question

如图示，抛物线方程为y²=p(x+1)(p＞0)，直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．

　　(1)求证：直线与抛物线总有两个交点；

　　(2)设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f(m)表达式．

　　(3)在(2)的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：联立方程组 　　将式①代入式②，得y2=p(m-y+1) 　　即y2+py-p(m+1)=0 　　判别式D=p2+4pm+4p　　　　　　　　　　　　　 ③ 　　令y=0，代入x+y=m，得x=m． 　　依题意，直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边． 　　∴　m＞-1．代入式③，得 　　D=p2+4p(m+1)＞p2+4p()=p2-p2=0 　　∴　直线和抛物线总有两个交点． 　　(2)解：设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，∴　x1=m-y1，x2=m-y2 　　由OQ⊥OR，可得x1x2+y1y2=0，即(m-y1)(m-y2)+y1y2=0 　　2y1y2-m(y1+y2)+m2=0 　　由根与系数关系知 　　y1+y2=-p，y1y2=-p(m+1) 　　从而，得-2p(m+1)-m(-p)+m2=0 　　整理得p=f(m)=(m＞-2且m≠0) 　　(3)解：原点到直线x+y=m的距离d=． 　　依题意，有 　　∴　-1≤m≤1 　　又∵　m＞-2且m≠0 　　∴　m∈[-1，0∪(0，1． 　　由P=f(m)==(m+2)+ 　　由函数y=x+的单调性可知： 　　m∈(-2，0)时，f(m)是单调递减 　　m∈(0，+∞)时，f(m)是单调递增 　　∴　m∈[-1，0时，f(m)∈(0，1 　　m∈(0，1时，f (m)∈(0， 　　即p∈(0，1或p∈(0，