【题目】某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为
米,圆心角为
(弧度).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,求
关于
的函数关系式,并求出
为何值时,
取得最大值?
【答案】(1)(2)
,
【解析】试题分析:(1)根据已知条件,将周长米为等量关系可以建立
满足的关系式,再由此关系式进一步得到函数解析式:
,即可解得
;(2)根据题意及(1)可得花坛的面积为
,装饰总费用为
,因此可得函数解析式
,而要求
的最大值,即求函数
的最大值,可以考虑采用换元法令
,从而
,再利用基本不等式,即可求得
的最大值:
,当且仅当
,
时取等号,此时
,
,因此当
时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.
试题解析:(1)扇环的圆心角为,则
,∴
, 3分
(2)由(1)可得花坛的面积为, 6分
装饰总费用为, 8分
∴花坛的面积与装饰总费用的, 10分
令,则
,当且仅当
,
时取等号,此时
,
, 12分
答:当时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 13分
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【题目】已知为椭圆
的右焦点,
为
上的任意一点.
(1)求的取值范围;
(2)是
上异于
的两点,若直线
与直线
的斜率之积为
,证明:
两点的横坐标之和为常数.
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,左顶点为
,点
在椭圆
上,且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且与
轴不重合的直线交椭圆
于
,
两点,直线
分别与
轴交于点
,
,.求证:以
为直径的圆恒过交点
,
,并求出
面积的取值范围.
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【题目】如图,抛物线的焦点为
,抛物线上一定点
.
(1)求抛物线的方程及准线
的方程;
(2)过焦点的直线(不经过
点)与抛物线交于
两点,与准线
交于点
,记
的斜率分别为
,问是否存在常数
,使得
成立?若存在
,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】现有六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),第一周的比赛中
,各踢了
场,
各踢了
场,
踢了
场,且
队与
队未踢过,
队与
队也未踢过,则在第一周的比赛中,
队踢的比赛的场数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的
人中的性别以及意见进行了分类,得到的数据如下表所示:
男 | 女 | 总计 | |
认为共享产品对生活有益 | |||
认为共享产品对生活无益 | |||
总计 |
(1)根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为对共享产品的态度与性别有关系?
(2)现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人,再从
人中随机抽取
人赠送超市购物券作为答谢,求恰有
人是女性的概率.
参与公式:
临界值表:
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【题目】某营养学家建议:高中生每天的蛋白质摄入量控制在(单位:克),脂肪的摄入量控制在
(单位:克),某学校食堂提供的伙食以食物
和食物
为主,1千克食物
含蛋白质60克,含脂肪9克,售价20元;1千克食物
含蛋白质30克,含脂肪27克,售价15元.
(1)如果某学生只吃食物,判断他的伙食是否符合营养学家的建议,并说明理由;
(2)为了花费最低且符合营养学家的建议,学生需要每天同时食用食物和食物
各多少千克?并求出最低需要花费的钱数.
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【题目】设函数,其中
、
为已知实常数,
.
下列所有正确命题的序号是____________.
①若,则
对任意实数
恒成立;
②若,则函数
为奇函数;
③若,则函数
为偶函数;
④当时,若
,则
.
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【题目】已知两个定点,
, 动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
,直线
:
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若是直线
上的动点,过
作曲线
的两条切线QM、QN,切点为
、
,探究:直线
是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.
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