Question

设F是抛物线G：x²=4y的焦点．
（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（Ⅱ）过抛物线G的焦点F，作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A，C，B，D点，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析：（I）由题设切线y=kx-4，又x²=4y联立得x²-4kx+16=0，由△=0即16k²-4×16=0，解得k=±2，由此能求出切线方程．
（II）由题意，直线AC斜率存在，由对称性，k＞0，AC：y=kx+1，x²-4kx-4=0，又x²=4y，x₁+x₂=4kx₁•x₂=-4，所以|AC|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4（1+k²），同理|BD|=4[1+(-

1

k

)2]=

4(1+k2)

k2

，SABCD=

1

2

|AC|•|BD|=

8(1+k2)2

k2

=8(k2+2+

1

k2

)≥32，由此能导出S_min=32．

解答：解：（I）由题设切线y=kx-4（k显然存在）
又x²=4y联立得x²-4kx+16=0
∴△=0即16k²-4×16=0，解得k=±2
∴切线方程为y=±2x-4
（II）由题意，直线AC斜率存在，又对称性，不妨k＞0
∴AC：y=kx+1∴x²-4kx-4=0
又x²=4y
∴x₁+x₂=4kx₁•x₂=-4
∴|AC|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4（1+k²）
同理|BD|=4[1+(-

1

k

)2]=

4(1+k2)

k2

∴SABCD=

1

2

|AC|•|BD|=

8(1+k2)2

k2

=8(k2+2+

1

k2

)≥32
当k=1时，“=”成立，∴S_min=32

点评：本题考查切线方程的求法和求四边形ABCD面积的最小值．解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用．