Question

10．已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：$\frac{a}{b+c-a}$，$\frac{b}{c+a-b}$，$\frac{c}{a+b-c}$的倒数也成等差数列．

Answer 1

分析 由a、b、c的倒数成等差数列可得$\frac{b}{a}$+$\frac{b}{c}$=2，代入化简可得$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+b-c}{c}$=$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$，把b=$\frac{2ac}{a+c}$，代入$\frac{c+a-b}{b}$化简可得$\frac{1}{2}$（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$），可得2•$\frac{c+a-b}{b}$=$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+b-c}{c}$，由等差数列的定义可得．

解答 证明：∵a、b、c的倒数成等差数列，
∴$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，∴$\frac{b}{a}$+$\frac{b}{c}$=2，
∴$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+b-c}{c}$=$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$-1+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1
=（$\frac{b}{a}$+$\frac{b}{c}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）-2=$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$，
又由$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$可得b=$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}$=$\frac{2ac}{a+c}$，
∴$\frac{c+a-b}{b}$=$\frac{c+a}{b}$-1=$\frac{a+c}{\frac{2ac}{a+c}}$-1
=$\frac{（a+c）^{2}}{2ac}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+1-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$），
∴2•$\frac{c+a-b}{b}$=$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+b-c}{c}$，
∴$\frac{a}{b+c-a}$，$\frac{b}{c+a-b}$，$\frac{c}{a+b-c}$的倒数也成等差数列

点评 本题考查等差数列的判定，涉及分式的运算和消元的思想，属中档题．