Question

如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
(2)求B点到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)    (2)    (3)存在，

解：(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OC⊥AD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，
∴＝(1，－1，－1)，易证OA⊥平面POC，
∴＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，
cos〈，〉＝＝.
∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为.
(2)＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)．
设平面PDC的一个法向量为u＝(x，y，z)，
则取z＝1，得u＝(1,1,1)．
∴B点到平面PCD的距离为
d＝＝.
(3)假设存在一点Q，则设＝λ (0<λ<1)．
∵..＝(0,1，－1)，
∴＝(0，λ，－λ)＝－，
∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．
设平面CAQ的一个法向量为m＝(x，y，z)，
又＝(1,1,0)，AQ＝(0，λ＋1,1－λ)，
则
取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，
又平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
二面角Q­AC­D的余弦值为，
所以|cos〈m，n〉|＝＝，
得3λ²－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍)，
所以存在点Q，且＝.